雖然像 $\sin x$ 與 $e^x$ 這樣的初等函數能滿足基本的微分方程，但許多物理現象——例如熱量分佈或量子態——卻由沒有「閉合形式」解的方程所支配。本頁介紹泰勒級數作為基礎橋樑，使我們能夠以無限冪級數的形式表示未知解。
透過假設一個解是 解析的 在某一點上，我們將求解微分方程的問題轉化為確定一組數值係數序列的問題。
1. 解析性的基礎
若函數 $f$ 在 $x = x_0$ 附近具有泰勒級數展開，且收斂半徑 $\rho > 0$，則稱其為 解析的 在 $x = x_0$。此性質是尋求常微分方程級數解的前提。若我們的微分方程的係數函數在 $x_0$ 點是解析的，則解 $y(x)$ 也必定在該點是解析的。
2. 泰勒級數表示法
級數 $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ 稱為函數 $f$ 關於 $x = x_0$ 的泰勒級數。其中，係數定義如下：
$$\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$
這將函數的全域行為與單一點上的局部導數聯繫起來。
3. 收斂性與有效性
冪級數解僅在其 收斂半徑內才有意義。例如，指數函數 $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ 對所有 $x$ 都收斂（$\rho = \infty$），但由微分方程推導出的其他級數可能僅在距離展開點 $x_0$ 的特定範圍內收斂。這個距離通常由方程的 奇點 （方程係數失效之處）決定。
考慮微分方程 $y' = y$ 搭配初始條件 $y(0)=1$。不靠猜測來求解，而是假設其具有冪級數形式：
$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$$
對其求導得 $y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$。代入 $y'=y$ 得：
$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
調整指標後，得到 $(n+1)a_{n+1} = a_n$，即 $\displaystyle a_n = \frac{a_0}{n!}$。由於 $y(0)=1$，故 $a_0=1$。結果即為 $e^x$ 的泰勒級數。